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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 

LINEARES: ORIGEM, PRINCIPAIS FILÓSOFOS E SUAS CONTRIBUIÇÕES

INTRODUÇÃO:


O presente trabalho, realizado através de uma pesquisa bibliográfica, irá apresentar uma breve disposição da álgebra na sua específica parte de matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares, bem como, sua origem, principais matemáticos e suas contribuições, juntamente com seu emprego e importância nos dias atuais.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

1. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA...............................................................................................05

2. A MATEMÁTICA COMO CIÊNCIA.......................................................................................06

3. HISTÓRIA DA ÁLGEBRA: UMA VISÃO GERAL................................................................06

4. SURGIMENTO DA TEORIA DAS MATRIZES......................................................................07

     4.1 Arthur Cayley......................................................................................................................09

     4.2 James Joseph Sylvester........................................................................................................09
5. ORIGEM DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES................09

      5.1 Gottfried Wilhelm Von Leibniz.........................................................................................11

      5.2 Gabriel Cramer...................................................................................................................12

      5.3 Alexandre Vandermond......................................................................................................12

      5.4 Pierre Simon Laplace..........................................................................................................12

      5.5 Carl Gustav Jacob Jacobi....................................................................................................13

      5.6 Augustin Louis Cauchy......................................................................................................13

      5.7 Leopold Kronecker.............................................................................................................13

      5.8 Saxon Frobenius.................................................................................................................13

CONCLUSÃO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANEXOS

 

1. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A matemática é uma das mais antigas ciências, tendo suas primeiras aparições na época da primeira dinastia da Babilônia, os babilônios possuíam um sistema numérico e uma geometria. Os sinais usados para representar os números eram cuneiformes, ou seja, antigas escritas. Usavam sistemas decimais e frações sexagesimais em tabelas para calcular pesos e volumes. São conhecidos vários documentos que contém tábuas de multiplicação, divisão, quadrados e raízes quadradas, de cubos, e de progressões aritméticas e geométricas. O maior número que integra estes documentos é da ordem de 608. O sistema de frações sexagesimais transferido à Grécia e posteriormente a Europa tem sua clara influência, que se perpetuou através do hábito de medir o tempo e os ângulos.

No Egito antigo a matemática foi tomando novas formas, foi obtidas empiricamente uma grande quantidade de regras que possibilitavam a solução de problemas matemáticos e algébricos, dando destaque ao estabelecimento do ano de 365 dias, que também pertence aos egípcios. Nesta época entre babilônios e egípcios a matemática estava dominada pela aritmética.

Todos esses conhecimentos eram obtidos através de tentativas constituindo-se de um simples conjunto de receitas.

A matemática começou sua evolução através dos gregos que atribuíram aos egípcios a origem da Geometria, aproximadamente 3.000 a.C e aos fenícios a invenção do Cálculo.

2. A MATEMÁTICA COMO CIÊNCIA

Matemática é uma palavra que se originou na Grécia derivada do grego “mathematike” e do latim “mathematics”, cujo sentido pode ser definido como sendo a ciência que estuda por meio do raciocínio dedutivo, as propriedades dos entes abstratos (números, figuras geométricas, funções, espaço, etc), bem como as relações que se estabelecem entre eles.

Já no conceito dentro da lógica a matemática é um conjunto de disciplinas lógicas que tratam das relações existentes entre grandezas e operações, ou seja, é a ciência das relações de grandeza, ordem, forma, espaço e continuidade e que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos.

3. HISTÓRIA DA ÁLGEBRA: UMA VISÃO GERAL

A origem da palavra “álgebra” é estranha e intrigante. Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr, usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta no ano de 825 pelo matemático árabe Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm.

Uma tradução literal do título completo do livro é a “ciência da restauração e redução”, matematicamente seria “ciência da transposição e cancelamento".

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente “a ciência das equações".

Originalmente, “álgebra” refere-se a equações, porém hoje a palavra tem um significado muito mais amplo que requer um enfoque em duas fases:

·        Álgebra antiga (elementar): é o estudo das equações e métodos de resolve-las.

·        Álgebra moderna (abstrata): é o estudo das estruturas matemáticas tais como: grupos, anéis e corpos – para mencionar apenas algumas.

De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.

Costuma-se dizer que o primeiro curso de Teoria das Matrizes – ou de sua versão mais abstrata, a álgebra linear, foram descobertos, antes mesmo dos estudos de Cayley, através da investigação da Teoria das Formas Quadráticas. Sendo assim podemos dizer que na álgebra abstrata a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas. Desta forma afirmamos que os determinantes em nada contribuíram para o desenvolvimento da Teoria das matrizes

4. SURGIMENTO DA TEORIA DAS MATRIZES

Há pouco mais de 150 anos surgiram as surgiu à teoria das matrizes, nesta época sua importância foi detectada e elas saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, francês físico-mateático, em 1826, conceituando-as como tableau (= tabela).

O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, em 1850. Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como “... um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes...”. Neste pequeno trecho publicado na época, podemos perceber que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes.

As matrizes passaram a ter vida própria com Cayley e gradativamente começaram a suplantar os determinantes em importância.

Cayley era amigo de Sylvester, também um expoente da álgebra britânica. Ambos eram antagônicos como pessoas e na forma de ensinar, Cayley era calmo e suas aulas eram metódicas, e Sylvester era explosivo com aulas vagas e improvisadas.

O início da teoria das matrizes remonta a um artigo de Cayley, de 1855, embora o termo matriz já tenha sido usado por Sylvester cinco anos antes. Neste artigo Cayley salienta, que embora logicamente a noção de matriz procedesse a de determinante, historicamente ocorrera ao contrário, pois em virtude de descobertas históricas posteriores, alguns séculos antes de Cristo, onde as matrizes eram utilizadas de forma implícita na resolução de sistemas de equações lineares.

Com essas descobertas Cayley começou a observar o efeito das transformações sucessivas sobre um ponto (x, y), por exemplo, sugeriu-lhe a definição de multiplicação de matrizes, operação que ele verificou como associativa. Esse trabalho coloca Cayley entre os primeiros matemáticos a criarem sistemas algébricos fora dos padrões clássicos.

As operações de adição de matrizes e multiplicação por escalares, curiosamente vieram num novo artigo três anos depois, dando destaque às propriedades.

Ao desenvolver a teoria das matrizes, Cayley não se preocupou com suas possíveis aplicações, porém hoje os aspectos formais da álgebra das matrizes já não surpreendem e suas aplicações são cada vez mais úteis.

4.1 Arthur Cayley

Nasceu no dia 16 de agosto de 1821, em Richmond na Inglaterra, e morreu em 26 de janeiro de 1895. Foi um matemático inglês que deu grande contribuição ao avanço da matemática pura. O trabalho de Cayley em Matrizes serviu como fundação para a Mecânica Quântica, desenvolvida em 1925, o qual utilizava-se o cálculo matricial.

4.2 James Joseph Sylvester

Nasceu no dia 3 de setembro de 1814 em Londres, Inglaterra, e morreu em 15 de março de 1897. Em particular ele usou a teoria das matrizes para estudar a geometria de alta dimensão. Ele também contribuiu para a criação da teoria dos divisores elementares das matrizes lambda.

Sylvester foi o segundo presidente da Sociedade de Matemática de Londres.

5. ORIGEM DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E DETERMINANTES


A teoria dos sistemas de equações lineares surgiu paralelamente à teoria dos determinantes.

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de Sistemas de Equações Lineares. No oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Os chineses com seu gosto especial por diagramas, representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre quadrados de um tabuleiro. Dessa maneira acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação – que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Esse procedimento encontra-se num texto dos Nove capítulos sobre a arte da matemática que data no século 111a.C.

Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante veio à luz (como polinômio que se associa a um quadrado de números). Kowa considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o procedimento chinês (para o caso de apenas duas equações).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos mais tarde com Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações e duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (determinante nulo). Leibniz foi um dos maiores formadores de notação.

A conhecida Regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Mclaurin, datando provavelmente de 1729, embora publicada postumamente em 1748. Mas o nome de Gabriel Cramer não vem apenas desse episódio. Cramer também chegou à regra de forma independente, após a sua análise das curvas planas, em conexão com a determinação da cônica geral.

O francês Étienne Bézout, autor de textos matemáticos de sucesso, sistematizou o processo de estabelecimento dos sinais dos termos dos determinantes.

Já o francês Alexandre Vandermond foi o responsável pela primeira abordagem da Teoria dos Determinantes independente do estudo dos sistemas lineares.

O conhecido Pierre Simon Laplace, cientista e matemático francês, permitiu a expansão de um determinante através dos menores r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos (cofatores), o importante Teorema de Laplace, demonstrado por ele próprio num artigo, a julgar pelo título que nada tinha a ver com o assunto: “Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema mundo”.

Com o sentido atual o termo Determinante, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy que sumariou e melhorou a notação e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes.

Além de Cauchy, o alemão Carl Jacobi contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes. É a ele que se deve à forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Jacob fez parte do desenvolvimento contínuo dos determinantes, construindo algoritmos, dando regras práticas com grandes preocupações pela notação de determinantes.

Outras contribuições vieram de Kronecker, que buscou solução para sistemas de equações lineares homogêneas, e de Frombenius, que participou do aperfeiçoamento desse estudo.

Após as contínuas descobertas foi possível detectar que a teoria dos sistemas lineares e dos determinantes contribuem para a resolução de problemas do cotidiano que envolve várias variáveis de forma homogênea ou heterogênea, chegando sempre à um resultado satisfatório no comportamento das variáveis.

5.1 Gottfried Wilhelm Von Leibniz

Nasceu em 1º de julho de 1646 e morreu em 14 de novembro de 1716. Descobriu o cálculo diferencial, situando-se entre os maiores matemáticos da história. Criou os termos abscissa, ordenada e coordenada e explorou a teoria dos determinantes.

5.2 Gabriel Cramer

Matemático suíço nasceu em Genebra em 31 de julho de 1704 e morreu em 4 de janeiro de 1752. Publicou, e, 1750, sua principal obra “Introdução à análise das curvas algébricas”, onde abordou os sistemas de equações lineares e múltiplas incógnitas e formulou o teorema que deu origem à Regra de Cramer, o qual, “o valor de cada incógnita se obtém dividindo o determinante da incógnita pelo determinante do sistema”.Em resumo a Regra de Cramer usa determinantes para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção, resolve equações lineares simultaneamente pelo uso de determinantes.

5.3 Alexandre Vandermond

Nasceu em 28 de fevereiro de 1735 em Paris, e morreu em 1º de janeiro de 1796. Estudou a teoria das equações e trabalhou com determinantes apesar de não terem sido publicados.

5.4 Pierre Simon Laplace

Famoso matemático francês nascido em 23 de março de 1749, e morre em 05 de março de 1827. Foi o responsável pelo profundo estudo da Teoria das probabilidades. Contribui para a teoria dos determinantes com seu famoso teorema que recebeu seu nome: Teorema de Laplace, que consiste em encontrar o determinante menor de cada elemento de uma n coluna ou linha, multiplicar pelos seus respectivos cofatores e somar com o próprio elemento.

5.5 Carl Gustav Jacob Jacobi

Nasceu na Alemanha em 1804, e morreu em 1851. Filósofo e matemático, desenvolveu a teoria sobre as funções elípticas e foi o responsável pela consolidação dos determinantes, tendo sua participação no sentido conceitual de determinantes nos dias atuais.

5.6  Augustin Louis Cauchy

Físico-matemático nascido e 21 de agosto de 1789 na França, e morreu em 23 de maio de 1857. Cauchy trabalhou o termo determinante pela primeira vez no sentido matemático atual. Em parte teve muitas contribuições inovadoras à matemática, portanto merecidamente ocupa um lugar especial entre os maiores matemáticos de todos os tempos.

5.7 Leopold Kronecker

Nasceu na Alemanha em 1823e morre no ano de 1891. Kronecker contribuiu significativamente para a álgebra ao buscar soluções para os sistemas de equações lineares homogêneos.

5.6 Saxon Frobenius

Astrônomo e matemático nasceu em Nova York. Foi um grande colaborador na investigação dos fenômenos atômicos. Teve sua participação nas descobertas de sistemas lineares ao estudar junto com Kronecker possíveis resoluções de sistemas lineares homogêneos.

CONCLUSÃO:

Com a realização deste trabalho percebemos que a parte da álgebra que estuda as matrizes e determinantes e os sistemas de equações lineares, tem uma ordem cronológica contínua, partindo da origem das matrizes, onde seu estudo tornou-se cada vez mais amplo e importante, tendo se perpetuado até os dias atuais empregados em várias áreas da genética, do crescimento populacional, computação gráfica entre outras.

ANEXO 1 -  Aplicações da Álgebra Linear

(Documento do livro Aplicações de Álgebra Linear).

Apresentamos a seguir várias aplicações práticas da “Álgebra Linear”, mais especificamente na sua parte de matrizes e determinantes, sob a forma de situações-problema. São aplicações nas mais diversas áreas, entre elas: administração, economia, engenharia, física, ciência da computação, ecologia, sociologia, demografia e genética.

→ REDES ELÉTRICAS

Circuitos elétricos que contém somente resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas de equações lineares que derivam das leis básicas da teoria de circuitos.

  → PROGRAMAÇÃO LINEAR GEOMÉTRICA

Um problema usual tratado na área de programação linear é o da determinação de proporções dos ingredientes em uma mistura com o objetivo de minimizar seu custo quando as proporções variam dentro de certos limites. Um tempo enorme do uso de computadores na administração e na indústria é dedicado a problemas de programação linear.

  → JOGOS DE ESTRATÉGIA

No jogo de roleta o jogador dá seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta, o lucro para o jogador ou para o cassino é determinado a partir desses dois movimentos. Estes são os ingredientes básicos de uma série de jogos que contém elementos tanto de estratégia quanto de acaso. Os métodos matriciais podem ser usados para desenvolver estratégias otimizadas para os jogadores.

→ ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

O administrador de uma plantação de árvores quer plantar e cortar as árvores de uma maneira tal que a configuração da floresta permaneça inalterada de um ano para outro. O administrador também procura maximizar os rendimentos, que dependem do número e do tamanho das árvores cortadas. Técnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o administrador a escolher uma programação sustentável.

→ COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Uma das aplicações mais úteis da computação gráfica é a do simulador de vôo. As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quantidade de dados necessários para construir e animar objetos tridimensionais usados por simuladores de vôo para representar um cenário em movimento.

→ DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA DE EQUILÍBRIO

Uma tarefa básica da ciência e da engenharia, que pode ser reduzida a resolver um sistema de equações lineares através de técnicas matriciais interativas, é determinar a distribuição de temperatura de objetos tais como a do aço saindo da fornalha.

→ GENÉTICA

Os mandatários do Egito antigo recorriam a casamentos entre irmãos para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos traços genéticos através de muitas gerações. A teoria das matrizes fornece um referencial matemático para examinar o problema geral da propagação de traços genéticos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAUMGART, Jonh. Tópicos da História da Matemática. São Paulo: FTD, 1998.

FILHO, Benigno Barreto; XAVIER, Cláudio. Matemática Aula por Aula. Volume 2: Ensino Médio. São Paulo: FTD, 1998.

IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Ed. Atual, 2000.

LIMA, Elon Lajes. Matemática: Ciência e Aplicações: Sistemas Lineares. São Paulo: FTD, 2002.

ENCICLOPÉDIA Microsoft Encartaâ. ã. 1993 – 2001. Microsoft Corporation.

Home Page: http://www.somatematica.com.br/ história da matemática.com.br em 10/10/2004.

Home Page: http://www.geocities.com.br/biografias matemáticas.com.br em 12/10/2004.


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