Make your own free website on Tripod.com

Home

Análise Combinatória

SUMÁRIO

 

 

Introdução...................................................................................................................

Porque foi criada a Análise Combinatória?............................................................................................................

Origem da Análise Combinatória..............................................................................................................

Autores que contribuíram para a construção do conceito.......................................................................................................................

Considerações Finais..........................................................................................................................

Referências Bibliográficas..............................................................................................................

Introdução

            A análise combinatória aparece em diversas áreas e situações da vida cotidiana, estas também  percebe-se  fora do ambiente escolar nas suas diversas aplicações, necessita-se assim saber o porque existe? Como foram desenvolvidas? E com merecida atenção também quem os criou. É o que veremos a seguir no desenvolvimento deste trabalho.

Porque foi criada a Análise Combinatória?

Os  estudos que levaram ao conceito da Análise Combinatória tiveram início por volta de século XVI, devido a necessidade de calcular o número de  possibilidades existentes nos conhecidos Jogos de Azar. Tais estudos foram iniciados pelos matemáticos Niccollo Fantana (1500-1557), conhecido como Tartaglia e mais tarde vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A origem da Análise Combinatória

           

O desenvolvimento do binômio (1+x)n está entre os primeiros problemas estudados e ligados à Análise Combinatória. O caso n=2 já pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, em torno de 300 a.C. O triângulo de Pascal era conhecido por Chu Shih-Chieh, na China, (em torno de 1300) e antes disso pelos hindus e árabes. O matemático hindu Báskara (1114-1185?), conhecido geralmente pela "fórmula de Báskara" para a solução de equações do 2º grau, sabia calcular o número de permutações, de combinações e de arranjos de n objetos. O mesmo aconteceu com o matemático e filósofo religioso francês Levi ben Gerson (1288-1344), que nasceu e trabalhou no sul da França, e que entre outras coisas, tentou demonstrar o 5º Postulado de Euclides. O nome coeficiente binomial foi induzido mais tarde por Michael Stifel (1486?-1567), que mostrou, em torno de 1550, como calcular (1+x)n a partir do desenvolvimento de (1+x)n-1 . Sabemos também que o matemático árabe Al-Karaji (fins do século X) conhecia a lei de formação dos elementos do triângulo de Pascal.
            Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calcular diretamente (1+x)n sem antes calcular (1+x)n-1 . Ele mostrou que cada coeficiente pode ser determinado, usando o anterior, pela fórmula.

Em verdade, Newton foi além disso, e mostrou com desenvolver (x+y)r , onde r é um número racional, obtendo neste caso um desenvolvimento em série infinita.

Uma outra direção de generalização do teorema do binômio é considerar potências da forma

(x+y+...+z)n ,

o chamado teorema multinomial, que foi descoberto por Leibniz (1646-1716) e demonstrado também por Johann Bernoulli (1667-1748).

Abraham De Moivre (1667-1754), Daniel Bernoulli (1700-1782) e Jacques Phillipe.

 O interesse de Euler por este problema surgiu devido a uma pergunta que lhe foi feita pelo matemático francês Phillipe Naudé, que trabalhava em Berlim, em uma carta, na qual, entre outras coisas, perguntava de quantas maneiras um número pode ser escrito como soma de inteiros positivos distintos. Esta pergunta, prontamente respondida por Euler, foi a origem da "teoria das partições" ou "partitio numerorum", como escreveu Euler. Mas suas contribuições à Análise Combinatória.

Não se limitaram a isso. Várias obras suas, muitas delas sobre probabilidades, contêm resultados importantes da Análise Combinatória. Em particular, devemos a ele o enunciado e a solução do Problema das Sete Pontes de Königsberg , um teorema da Teoria dos Grafos, parte muito importante, atualmente, da Análise Combinatória.

A Análise combinatória tem tido um crescimento explosivo nas últimas décadas. A importância de problemas de enumeração tem crescido enormemente, devido a necessidades em teoria dos grafos, em análise de algorítmos, etc. Muitos problemas importantes podem ser modelados matematicamente como problemas de teoria dos grafos (problemas de pesquisa operacional, de armazenamento de informações em bancos de dados nos computadores, e também problemas de matemática "pura", como o famoso problema das 4 cores).

Outra teoria importante de combinatória foi criada pelo lógico inglês F. P. Ramsey (1903-1930); ela garante a existência de certas configurações. Um dos exemplos mais simples do chamado teorema de Ramsey afirma que se tivermos no plano um conjunto de n pontos, com n>= 6, tais que nenhum subconjunto com três pontos é colinear, então, se unirmos todos os pontos dois a dois, usando duas cores distintas, por exemplo preto e branco, para traçar os segmentos de reta que unirão os pontos, então forçosamente teremos formado um triângulo cujos lados são todos da mesma cor (preto ou branco).

Diz-se geralmente que a Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido à curiosidade de um cavalheiro, o Chevalier de Méré, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos à probabilidade de ganhar em certos jogos de cartas. Despertando seu interesse pelo assunto, Pascal correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamaríamos de probabilidades finitas.

Exemplo: Galileu (1564 - 1642) estudou os jogos de dados, para responder à pergunta de um amigo: Com três dados, o número 9 e o número 10 podem ser obtidos de seis maneiras distintas, cada um deles. No entanto, a experiência mostra que 10 é obtido mais freqüentemente do que 9. Como explicar isso? Galileu estudou cuidadosamente as probabilidades envolvidas e mostrou, corretamente que, de 216 casos possíveis, 27 são favoráveis ao aparecimento do número 10 e 25 são favoráveis ao aparecimento do número 9.

A Teoria da Probabilidades não despertou logo grande interesse entre os matemáticos que se seguiram a Pascal e Fermat, os quais estavam atraídos pelas investigações relativas ao cálculo, criado por Newton e Leibnitz. No entanto, percebeu-se imediatamente a utilidade da Teoria das Probabilidades para estudar situações como taxas de mortalidade, prêmios de seguros, etc. São inúmeras, ainda no século XVIII, as publicações estatísticas sobre impostos, doenças, condenações, etc., organizadas pelos governos, que viram logo o poder deste instrumento de observação social. Em 1662, John Graunt (1620 - 1674) utiliza os registros de falecimentos para determinar a taxa de mortalidade em Londres. Passou-se em seguida a utilizar a idéia de Graunt no cálculo de rendas vitalícias, que dependem da esperança de vida. A primeira tentativa séria de cálculo de rendas vitalícias é devida a Johan de Witt (1625 - 1672) juntamente com Johan Hudde (1628 -1704), prefeito de Amsterdam, que consultavam freqüentemente Huygens sobre o problema.

Jaime Bernoulli foi o primeiro de uma longa linhagem de matemáticos e sábios de uma família suíça. Seu diário mostra que ele começou a interessar-se pelos problemas de combinatória e de probabilidades em torno de 1685. Manteve longa correspondência sobre o assunto com Leibniz, que levantava objeções ao Teorema de Bernoulli.

            A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

                                                                      Tartaglia 

Autores que contribuíram para o conceito de Análise Combinatória

   

             Nicolo Fontana de Brescia, mais conhecido por Tartaglia, nasceu em Brescia por volta de 1500 e morreu em Veneza em 1557. O seu apelido Tartaglia, tem uma história curiosa,  que em traços largos, é a seguinte: em 1512, quando Brescia foi saqueada pelas tropas francesas comandadas por Gaston de Foix, Nicolo procurou refugio, com a mãe e a irmã, da igreja da cidade, julgando ser um sítio seguro. Mas os soldados nem esses locais pouparam e Niccollo foi gravemente ferido com golpes na cabeça e na face.

           A mãe, viúva e sem meios para pagar a um médico, tratou-lhe das feridas, com a sua própria saliva, do mesmo modo que os animais tratam os seus filhos. Nicolo salvou-se, mas ficou sempre com grande dificuldade em falar, tendo assim ficado com a alcunha de Tartaglia, que significa gago. Esse nome ficou-lhe durante muito tempo como lembrança da sua desgraça e, por isso, resolveu adapta-lo, passando a chamar-se Nicolo Tartaglia.

         Oriundo de uma família muito pobre, só aos catorze anos e pelos próprios meios aprendeu a escrever, mas isso não foi obstáculo a que viesse a ser engenheiro e a ensinar matemática em cidades italianas como Verona, Veneza, Piacenza e Brescia. Além disso, fez trabalhos importantes onde demonstrou muitos conhecimentos de aritmética, geometria, álgebra, balística e estática.

Sendo o único professor de matemática em Veneza, Tartaglia gradualmente foi adquirindo uma reputação como promissor matemático pelas suas participações bem sucedidas num largo número de debates.

          Em 1537, foi impressa a sua primeira obra “Nova scientia inventa” que se refere à balística.

        Seguiu-se em 1546, o “Quesiti et inventioni diverse”, que tem a forma dialogada e inúmeras notas autobiográficas de carácter geral, considerando questões que lhe tinham sido colocadas. Na sua maior parte tratavam-se de questões de engenharia e arte militar, mas abundavam também questões matemáticas. Uma dessas questões conduzia a uma equação do 4º grau, precisamente aquela que viria a ser mais tarde resolvida por Ferrari. Histórica e tecnicamente importantes são as suas referências à resolução da equação Cúbica. Por último figuram no “Quesiti et inventioni diverse” a sua disputa com Fior, algumas das questões que faziam parte dessa disputa, e o seu encontro com Cardano no qual Tartaglia lhe terá entregue os “Tercetos” com a solução da cúbica:

         Do ponto de vista técnico deduz-se que para além dos resultados conseguidos com as regras que se encontravam nos “tercetos” devem-se a Tartaglia a redução de qualquer equação cúbica trigonométrica a uma das três a que se aplicavam as suas regras.

          No entanto não havia referência nenhuma nos seus escritos ao caso irredutível, nem tão pouco ao caso geral da equação cúbica completa.

São tais questões que Tartaglia trata na sua obra “la travagliota inventione” de 1551, assim como também os deveria ter tratado na sua obra máxima, o Tratado general de números y de medidas”, que foi publicado em 1556. Dos seis volumes aparecidos os últimos quatro são postulados e o último deles não foi relatado por Tartaglia mas sim por um outro “doutor matemático” tendo por base os apontamentos de Tartaglia. Este tratado é uma obra tipo enciclopédia do tipo da “Summa” de Pacioli. Os dois primeiros volumes referem-se à aritmética teórica e prática. A última parte do “tratado” refere-se à álgebra, mas infelizmente termina com as equações quadráticas sem entrar nas cúbicas.

            Para além destas obras e dos “Contracartelli” aparecidos devido à polémica com  Ferrari, deve-se a Tartaglia a primeira edição italiana dos “Elementos” de Euclides  (uma anterior de Pacioli ter-se-ia perdido), assim como versões e edições de obras de Arquimedes e de Jordanus Nemorarius. 

(uma anterior de Pacioli ter-se-ia perdido), assim como versões e edições de obras de Arquimedes e de Jordanus Nemorarius. 


Blaise Pascal


Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris.

O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides.

Aos 14 anos, Pascal começou a acompanhar o seu pai nas reuniões de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal apresentou uma única folha de papel que continha vários teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico" em que demonstra que "se um hexágono estiver inscrito numa cônica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos são colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho – "Ensaio sobre secções cônicas", no qual trabalhou durante 3 anos

Em 1639 a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.

Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira máquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adição e subtração, e posteriormente organizou a produção e comercialização destas máquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 40). Pelo menos sete destes «computadores» ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652.

Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irmãs uma carta sobre a morte com um profundo significado cristão em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosófica "Pensées" que constitui um conjunto de reflexões pessoais acerca do sofrimento humano e da fé em Deus.

Em Física destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos" relacionado com a pressão dos fluídos e hidráulica. O princípio de Pascal diz que a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma, de forma a que a pressão aplicada num ponto é transmitida a todo o volume do contentor. Este é o princípio do macaco e do martelo hidráulicos.

Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Triângulo aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci.

Em correspondência com Fermat, durante o Verão de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu último trabalho foi sobre a Ciclóide – a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela ciência; passou os últimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e à religião. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estômago se ter estendido ao cérebro.

Considerações finais

            Ao término deste trabalho pudemos perceber o que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória e quais os motivos despertaram o interesse dos matemáticos daquele século, por ironia descobriu-se que foi criada devido aos jogos de azar algo presente até hoje, mas que poucos sabem a que descoberta levou. Desta forma, tendo conhecimento das origens dos conteúdos matemáticos podemos, quando em sala de aula expôs situações em que se utiliza este tipo de conhecimento buscando desta forma atrair a atenção do nosso aluno para o conteúdo.

Muitos foram os autores que deram sua contribuição até que se chegasse ao conceito de Análise Combinatória, observa-se também que estes  viveram em torno do século XV-VIII e que conceitos daquela época servem para os dias de hoje.

Referências bibliográficas:

Grande Enciclopédia Portuguesa Brasileira, Editorial Enciclopédia Lda.

MORGADO, Augusto César de Oliveira ed alli. Análise combinatória e probabilidade .

Rio de Janeiro, Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1991.

www.pessoal.sercom.com.br

www.educacional.com.br

www.interaula.com.br

Home